CONFIABILIDAD: Modelación en Stella de un sistema con uno y con dos componentes en stand-by con tiempos de falla Birnbaum Saunders

La distribución de una variable aleatoria generada por la suma de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, es difícil de manejar desde el punto de vista analítico, pues en definitiva consiste en resolver la función convolución, la cual se puede realizar esencialmente mediante aplicaciones de transformada de Laplace y cálculo de polinomios de aproximación calculados en forma recursiva. Este tipo de problemas se presenta en la teoría de la confiabilidad en los modelos llamados "stand-by".

En este trabajo se presenta la forma de construir un modelo dinámico que represente un sistema en stand-by, que por simplicidad, pero fácil de generalizar, se supone con uno y con dos componentes en espera para reemplazar la componente que eventualmente puede fallar, y cada una de estas componentes tiene una distribución Birnbaum-Saunders.

Introducción a los sistemas con componentes en stand-by

Vamos a considerar una componente de un sistema cuyo tiempo de falla tiene distribución conocida, de modo que existen dos componentes análogas en espera, de manera que fallando la que está funcionando, se activa en forma inmediata la primera en la línea de espera, y así sucesivamente para la siguiente. Vamos a suponer, en un principio, que las tres componentes tienen tiempos de falla independientes e idénticamente distribuidos según una distribución Birnbaum-Saunders, esto es:

  (1)

donde

(2)

siendola función de distribución normal estándar. 

Se sabe que la representación estocástica de T, está dada por:

 (3)

donde V se distribuye N (0, 1). Y esto significa que podemos generar un número (pseudo) aleatorio con la transformación dada anteriormente.

Utilizando el lenguaje de redes bayesianas, el siguiente grafo es útil para simular un tiempo de falla generado por la distribución BS (t; alfa ; beta ):

Figura 1

El nodo V indica un número aleatorio obtenido de la distribución normal estándar, y son los parámetros positivos de la distribución Birnbaum Saunders, y el nodo T corresponde a la fórmula analítica dada en (3). En cualquier caso, con la red bayesiana dada en la Figura 1, podemos generar tiempos aleatorios que se ajustarán a una distribución BS (t; alfa ; beta ). 

Vamos a conectar este tiempo aleatorio con la función de confiabilidad R(t), esto es:

 (4)

que es la medida de la incertidumbre de que la falla de la componente ocurra después del tiempo prefijado t.

Esto significa que a nuestra red bayesiana de la Figura 1 debemos agregar un nodo que nos indique si la falla ocurrió antes o después del tiempo prefijado t (el cual nos indica la creación de otro nodo). 

Observemos la Figura 2.

Figura 2

En esta nueva red bayesiana, el nodo Tiempo, T, indicará el tiempo prefijado para establecer si el sistema funciona o no hasta ese tiempo, y el nodo Eficiencia es simplemente un indicador que acusará un 1 si el tiempo de falla generado es mayor que el tiempo prefijado, y en caso contrario un 0. Dicho de otra forma, será declarado como éxito si el tiempo de falla es mayor que el tiempo prefijado (el tiempo de falla T ocurrirá después del tiempo t). 

Este "éxito" indica un incremento en la confiabilidad, y debe ser contabilizado como tal. En consecuencia, a la red bayesiana ahora le agregamos dos variables, una variable de flujo y una variable dicotómica Eficiencia (0 y 1). En este caso, la variable de estado simplemente será receptora de todos los resultados de eficiencia para cada número aleatorio generado. Observemos la Figura 3.

Figura 3

En este sistema la variable Flujo tendrá el mismo valor que la variable Eficiencia, y la variable de estado Contador simplemente sumará las veces en que el tiempo generado por T ha sido mayor que el tiempo prefijado t. Finalmente, estimando el valor de la función de confiabilidad para el valor prefijado t, agregamos un nodo que nos entregue la razón entre el número de "éxitos", esto es el valor acumulado del Contador por el número de simulaciones (número de tiempos aleatorios generados). Observemos la Figura 4.

Figura 4

Si variamos los parámetros desde beta = 100 a beta = 25, entonces podemos calcular la estimación de la función de confiabilidad mediante, el estimado de R(t), para diferentes tiempos realizando 1000 repeticiones de tamaño 50, 2000 y 3000 y considerando 0 componentes en espera. En este caso, se obtuvieron los siguientes resultados indicados en la Tabla 1.

Tabla 1.- Simulaciones de 1000 repeticiones sin componentes en stand-by

Por otro lado, podemos realizar los cálculos numéricos de la función R(t), y se tiene:

Tabla 2.- Resultados de confiabilidad, R(t) para los valores dados en la tabla 1.

Sin pérdida de generalidad, se asume cualquier alfa, debido a que este no influye en los resultados por tratarse de un parámetro de forma.

Un sistema con una componente en stand-by

La variable Eficiencia en la Figura 4, entrega el valor 0 si es que el tiempo de falla de la componente es menor que el tiempo prefijado tiempo, de modo que a partir de este tiempo de falla empieza la componente de reemplazo a operar, y se espera que esta nueva componente no falle antes del tiempo prefijado t. Es decir, la confiabilidad del sistema, respecto de ese tiempo prefijado, es que la primera componente funcione a lo menos hasta t, o la nueva componente a partir del tiempo de falla de la primera componente, el tiempo de falla sea a lo menos mayor que t, esto es:

(5)

donde:

T_i ; i = 1, 2, son los tiempos de falla de la primera y segunda componente, que estamos suponiendo independientes; 

R_S (t) es la confiabilidad del sistema; 

R_T1(t) la función de confiabilidad asociada a la variable T₁;

R_T1+T2 (t) la función de confiabilida asociada a la variable T₁ y T₂.

Es necesario recordar que las variables T_i tienen distribución Birnbaum Saunders y la variable T₁ + T₂ no tiene una distribución Birnbaum Saunders. Estimaremos la función de confiabilidad (5) mediante simulación. La variable Eficiencia, en el modelo descrito en la Figura 4, entrega el valor de cero cuando el sistema falla antes del tiempo prefijado t, y entrega el valor de 1 cuando la falla ocurre después del tiempo t. Si ocurre lo primero, entonces no se genera el segundo tiempo aleatorio; para el segundo caso se genera entonces el tiempo aleatorio. Observemos la Figura 5.

Figura 5

Hemos agregado una red bayesiana para generar un tiempo aleatorio según una distribución Birnbaum Saunders, incluso con distintos parámetros respecto de la primera, que hemos llamado T2, y que entrará a "operar" solo si el valor de la Eficiencia es cero (es decir, la primera componente falló antes del tiempo prefijado t), luego verificamos si la suma de ambos tiempos supera o no al tiempo prefijado Tiempo. Si lo supera, asignamos el valor de i, en caso contrario 0 y guardamos el valor obtenido en la variable Eficiencia2. Finalmente, la variable Flujo2, entregará el valor obtenido en Eficiencia2 siempre y cuando el Flujo haya tenido valor 0. 

A continuación, entregamos distintas simulaciones para distintos tiempos prefijados y distintos parámetros de escala . Aquí, sin pérdida de generalidad, se asume cualquier alfa, debido a que este no influye en los resultados por tratarse de un parámetro de forma.

Tabla 3.- Simulaciones de 1000 repeticiones considerando 1 componente en stand-by

Si comparamos estos resultados con los cálculos numéricos de la función de confiabilidad, R(t), según Raaijmakers, se tiene:

Tabla 4.- Resultados de confiabilidad según ecuación de Raaijmakers.

Los cuales son prácticamente muy cercanos a los simulados en Stella.

Un sistema con dos componentes en stand-by

Ahora bien, si agregamos una segunda componente en espera, tal como se ilustra en la figura 6, debemos relacionar la variable T₃ con distribución BS con la variable "eficiencia2", puesto que se trata de una segunda componente en espera, asegurándose que en caso que la primera componente en standby falle antes del tiempo t, entonces esta segunda componente comience a operar.

Figura 6

Agregamos un nodo denominado Eficiencia3 que entrega el valor 0 cuando los dos componentes en espera fallan antes del tiempo prefijado t y el valor 1 cuando comienza a operar el segundo componente en espera. De nuevo aquí hacemos la distinción que las variables aleatorias Ti tienen distribución BS, pero la suma de las variables T₁ + T₂ + T₃ no tienen una distribución Birnbaum Saunders.

Por último, agregamos el "Flujo3" correspondiente, con la cual cerramos el ciclo del modelo. Si el "Flujo1" y el "Flujo2" fallan y la "Eficiencia3" tiene "éxito" entonces el sistema toma el valor 1, de lo contrario no es contabilizado.Ver Figura 7.

Figura 7

A continuación, se presentan distintas simulaciones para distintos tiempos prefijados considerando el sistema de dos componentes en espera y distintos parámetros de escala . Aquí, sin pérdida de generalidad, se asume cualquier alfa, debido a que este no influye en los resultados por tratarse de un parámetro de forma.

Tabla 5.- Simulaciones de 1000 repeticiones considerando 2 componentes en stand-by

Si comparamos estos resultados con los cálculos numéricos de la función de confiabilidad, R(t), según Raaijmakers, se tiene:

Tabla 6.- Resultados de confiabilidad según ecuación de Raaijmakers.

Nuevamente se puede apreciar la semejanza entre estos resultados y los simulados en el Software Stella mediante nuestra modelación.

Conclusión

La simulación mediante el software Stella presenta una buena alternativa para resolver los procesos de modelación de un sistema con dos componentes en stand-by con tiempos de falla Birnbaum Saunders. Esta se presenta como una alternativa a la resolución mediante técnicas analíticas. Es evidente que la confiabilidad R(t) con una y con dos componentes en espera, R_T2 y R_T3 con tiempos de falla BS dependen de la suma de las variables aleatorias T₁ + T₂ y T₁ + T₂ + T₃ respectivamente las cuales se suponen independientes y cuyas sumas no se distribuyen BS.

En este artículo se presentó el modelo de dos componentes en espera, donde las variables aleatorias propuestas siguen una distribución Birnbaum Saunders, como ocurre en aquellos procesos denominados modelos de confiabilidad o procesos de vida, es decir, cuando una de las componentes falla, esta es reemplazada en forma inmediata por la componente en espera.

Referencias:

1. Birnbaum , Z.W., Saunders, S. C. (1969). A new family of life distributions. Journal of Applied Probability 6 : 319-327.
2. Raaijmakers, F. J. M. (1980). The Lifetime of a Standby System of Units having the Birnbaun and Saunders Distributions, Journal of Applied Probability, 17, 490-497.
3. Raaijmakers, F. J. M. (1981). Reliability of standby system for units with the Birnbaum-Saunders distribution. IEEE Transactions on Reliability, 30, 198-199.
4. www.iseesystems.com. Dynamic Modelling and Simulation Software Stella versión 9.1.3.