El siguiente grafo representa un modelo de
confiabilidad de tres estados. 0 es el estado donde no hay fallas y 1 significa
falla pero puede continuar funcionando, y 2 significa falla pero no puede
continuar funcionando.
Donde:
λ(t) Δt : Probabilidad de falla en el
intervalo (t, t + Δt)
λ(t) : Función de razón de riesgo
Modelación en Stella.
Del grafo podemos
concluir las probabilidades en juego.
Primero, la
probabilidad que la componente no falle en un tiempo t + Δt es igual a la probabilidad que
la componente no falle en un tiempo t y no falle en un tiempo Δt. Matemáticamente se expresa:
P0 (t + Δt) = P0(t) . P0(Δt)
P0 (t + Δt) = P0 (t) · (1 - λ1(t)Δt - λ2(t)Δt)
Despejando
obtenemos:
P0
(t + Δt) - P0 (t) = - λ1(t) P0 (t) - λ2(t) P0 (t)
Δt
Lim P0 (t + Δt) - P0 (t) = - λ1(t) P0 (t) - λ2(t) P0 (t)
Δt → 0 Δt
P´0
(t) = - (λ1(t) + λ2(t)) P0 (t)
Ahora bien, la probabilidad que la componente
falle en un tiempo t + Δt y pueda seguir funcionando, es
igual a la probabilidad que la componente no falle en un tiempo t y falle en un
tiempo Δt pero puede seguir funcionando o la
probabilidad que falle en un tiempo t y siga funcionando y vuelva a fallar en
un tiempo Δt pero puede seguir funcionando.
Matemáticamente se expresa como:
P1 (t + Δt) = P0 (t) · P1(Δt) + P1(t) · P1(Δt)
P1
(t + Δt) = P0 (t) · λ1(t)Δt + P1(t) · (1 - λ3(t)Δt)
P1
(t + Δt) – P1 (t) = λ1(t) P0 (t) - λ3(t) P1(t)
Δt
Lim P1 (t + Δt) – P1 (t) = λ1(t) P0 (t) - λ3(t) P1(t)
Δt → 0 Δt
P´1 (t) = λ1(t) P0 (t) - λ3(t) P1(t)
La probabilidad que la componente falle en un
tiempo t + Δt pero colapsa, es igual a la
probabilidad que la componente no falle en un tiempo t y colapse en un tiempo Δt o la
probabilidad que falle en un tiempo t y siga funcionando y colapse en un tiempo
Δt o simplemente la probabilidad que colapse
en un tiempo t
Matemáticamente se expresa como:
P2 (t + Δt) = P0 (t) · P2(Δt) + P1(t) · P2(Δt) + P2(t)
P2 (t + Δt) = P0 (t) · λ2(t)Δt + P1(t) λ3(t)Δt ·+ P2(t)
P2
(t + Δt) – P2 (t) = λ2(t) P0 (t) + λ3(t) P1(t)
Δt
Lim P2 (t + Δt) – P2 (t) = λ2(t) P0 (t) + λ3(t) P1(t)
Δt → 0 Δt
P´2 (t) = λ2(t) P0 (t) + λ3(t) P1(t)
Por lo tanto, los
flujos son:
F1 = - (λ1(t) + λ2(t)) P0 (t)
F2 = λ1(t) P0 (t) - λ3(t) P1(t)
F3 = λ2(t) P0 (t) + λ3(t) P1(t)
Con esta
información vamos ahora a modelar en Stella.
Hacemos clic sobre
el mundo, y obtenemos:
Los signos de
interrogación nos indican que debemos ingresar valores a las variables.
En P0 colocar 1
(condición inicial que corresponde a Po (0) = 1)
En P1 colocar 0
(condición inicial que corresponde a P1 (0) =0)
En P2 colocar 0
(condición inicial que corresponde a P2 (0) =0)
En lambda 1 colocar
0.04
En lambda 2 colocar
0.05
En lambda 3 colocar
0.03
Esto es lo que
queda:
Ahora solo nos queda colocar las ecuaciones en
los flujos F1, F2 y F3.
En el Flujo 1 además colocamos biflow, porque
no sabemos si el sistema succiona o sopla.
Aquí también se coloca biflow por las mismas
razones anteriores.
Y con esto tenemos todas las variables
ingresadas, OK.
Ahora construimos el gráfico para la
simulación.
Doble clic sobre el gráfico. Agregar a selected P0, P1 y P2 y OK
Luego, arrancar el gráfico en run.
Ajustar el gráfico en Run / Range specs y
colocar en P0, P1 y P2: min = 0 y max 1
OK
En run / time specs colocar en from = 0 y en to = 150 y luego Ok.
Este es el gráfico de simulación.
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